3名高中生第四色播，只用课余时刻，再行讲明了100年前的数学定理。

不仅仅圆，你不错在门格海绵（Menger Sponge）中找到任何一个数学结（knot）！

你可能对门格海绵还比拟生分，它是Karl Menger（卡尔·门格尔）在1926年创建的一个卓绝意想的意见，对当代数学、图形学等鸿沟都很伏击。

这个分形海绵在一百年间蛊惑了广漠专科和业尾数学家，原因也很简短：它看起来太意想了。

2014年，数百名数学喜欢者还参与了一个名为MegaMenger的环球步履，用柬帖制作出了重达200磅的新版块门格海绵。

由于它有多孔、泡沫状的结构，还平日被用来模拟减震器和特地的空间-时刻局面。

它的结构卓绝优雅。咱们不错从一个立方体动身，起初移除位于其中心以及六个面中心的立方体。然后对剩下的 20 个立方体重叠此历程。

在每次迭代中，它的间隙会呈指数级增多，最驱逐构卓绝近似咱们常见的“海绵”，这亦然它名字的由来。

门格海绵也有着卓绝特地的数学性质：跟着迭代，立方体的局面体积会减少到零，而名义积无尽增大。

Menger在1926年提议这个意见时，就讲明了任何能假想出来的曲线——简短的线条和圆形，看起来像树或雪花的结构——都不错变形然后镶嵌海绵的某个方位，也便是说这种海绵是一种“通用曲线”。

而今天的主角，来自加拿大的3名高中生，奴婢那时还在就读多伦多大学磋议生的Malors Espinosa(马洛斯·埃斯皮诺萨)，进一步彭胀了这个定理的讲明。

况兼他们还发现，三叶结所属类 “普雷策尔结（pretzel knot）”也都不错映射到四面体版块的门格海绵中。

北卡罗来纳州立大学的拓扑学家Radmila Sazdanovic也评陈说，“这是一种卓绝玄机的讲明表率。”

这到底是奈何作念到的呢？

用弧形图与康托尔集暗示结

Malors在阅读了联系证后光清醒到，Menger仍是讲明不错在他的海绵中找到率性一个圆。

那么，如若是另外一种近似于“圆”的局面，这个定理还能成立吗？

比如一个经典的数学结：将一条绳索歪曲并打结，然后将其两头阻塞酿成一个环。此时，如若让一只蚂蚁沿着它行走，最终它会回到动身点，就像在圆上一样。

这么一来，每个结都与圆等价第四色播，八成说“同胚（homeomorphic）”于圆。

Malors从这个想法中得回了灵感，他决定从我方讲课的高中里找一些学生来讲明：门格海绵中不错找到任何一个结。

其后，三名高中生——Joshua Broden、Noah Nazareth 和 Niko Voth的确作念到了！

在参预这个讲明四肢之前，三位学生从来莫得作念过这种“莫得谜底”的题目，但这群14岁的少年都卓绝雀跃。

他们的策画近似于用一根小型针穿过一团灰尘，也便是海绵经过屡次移除后剩下的部分。

他们必须将针插在正确的位置，精准无误地打结，况兼不成离开海绵。如若他们的线因为任何一个结而飘扬在海绵的舛错中，那就失败了。

天然这看起来卓绝费力，但有一种简化的表率。绳结不错暗示为一张平面上的特地图表，称为弧暗示（arc presentations）。

要绘图弧暗示图，起初要了解结的各股是怎样前后出动的。然后，期骗一套划定将这些信息调治为网格上的一系列点。网格的每一瞥和每一列都将包含两个点。

用水慈祥垂直线联结这些点。每当两个线段交叉时，将垂直线画在水平线之上。

每个结都不错用这种网格状的神色暗示。天然弧暗示法或然看起来比其他的绘图表率更复杂，但它不错让数学家更容易磋议结的一些伏击性质。

当学生们看到犬牙交错的线条图时，他们渴望起了门格海绵的面。

你不错卓绝简短地把曲线的水平线放在海绵的一个面上，把垂直线放在海绵的另一个面上。

难点在于怎样将结拉伸回三维空间。在曲线的每一个转角处，都需要通过海绵的里面将两个面联结起来，幸免遭遇洞。

为了确保这少许，他们意想了康托尔集（the Cantor set），它是门格海绵的一维模拟。

要构建这个荟萃，起初要从一条线段运转，把它分红三份。去掉中间的三分之一，然后对剩下的两段作念相似的科罚，依此类推，源源欺压。终末剩下的便是零碎的点了。

磋议小组的讲明同期利用了门格海绵和康托尔集，它们有相易数目的移除法子。

他们发现，海绵面上坐标都在康托尔蚁合的点不应该有洞。况兼，由于海绵的重叠遐想，在这些点的正后方也不应该有洞。因此，结不错摆脱、明晰地穿过海绵，而不会不戒备跳出海绵的材料。

接下来，学生们要作念的便是讲明他们不错压缩或拉伸率性绳结的曲线暗示，使其通盘角都与康托尔蚁合的坐标对皆。(这种压缩和拉伸是可行的，因为它不会影响曲线的举座结构，因此也不会影响它所代表的绳结）。

为了完成这终末一步，3位同学走了一条捷径。

他们讲明，他们不错对任何曲线进行变形，使其垂直线段和水平线段的交叉点都在康托尔蚁合。这就自动保证了更多的角也会与康托尔集对皆。

换句话说，他们总能将给定的结镶嵌门格尔海绵的某个迭代中。

这就仍是完成了Malors起初的讲明。不外，他们还想进一步鼓吹这个磋议：是否通盘的结也不错镶嵌门格海绵的四面体版块中？

关于学生们的想要在四面体中寻找三叶结的想法，Malors起先肯定是不可能的。

但几周后，学生们的确作念到了：他们找到了一种新表率，不错将三叶结的弧暗示映射到四面体中。

他们其后讲明，这种表率适用于三叶结所属的更平淡的结类 “普雷策尔结（pretzel knot）”。

不外当今关于其他类型的结的讲明还没能完成。

One More Thing

Malors暗示，此次讲明历程，让学生们信得过体会到了数学磋议的厄运。

不同于高中数学题目中老是会给出细主义谜底，信得过的数学磋议中，很大一部分时刻都是在有但愿的失败中反抗。

Malors合计学生们的讲明表率可能为更平淡地测量分形的复杂性提供了一种新想路。

并非通盘的分形都能保证容纳通盘类型的结。也许不错凭据它们能容纳和不成容纳哪些类型的结来更好地意会它们的结构。

至少，这件作品不错引发新的艺术灵感，近似于2014年的MegaMenger大赛等等。

在讲明时刻，3位同学都已高中毕业。只消Broden决定在大学课业不忙的时候不绝磋议四面体问题，但三东谈主也都在议论从事数学工作。

另一个同学Nazareth也暗示：”我正在致力于为更大的功绩，为真谛的实质作念出孝顺，这嗅觉很有谈理。

参考连结：https://www.quantamagazine.org/teen-mathematicians-tie-knots-through-a-mind-blowing-fractal-20241126/

— 完 —第四色播